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Funzioni reali di una variabile reale. 4 210 4.8.6 Regole di integrazione Integrazione per parti Supponiamo che f(x) e g(x) siano derivabili in (a, b). Ricordando la regola di derivazione del prodotto di due funzioni si ha: DS(r) g(z)] = f' (2) g(x) +f(x) g'(z) (4.148) Se allora supponiamo che esistano le primitive di f' (x) g(x) e di f(x) g' (x), dalla (4.148) si ha: e f(x) · g(x) = | f'(x) g(2) dæ + / f(x)·gʻ(x) dx (4.149) La (4.149) può essere utilizzata per trasformare uno degli integrali al secondo membro, ad esempio il secondo, nell'altro integrale, nel caso che quest'ultimo risulti più semplice da calcolare, cioè: |f(2) - g'(2) da = f(x) g(x) – / f (2) • g(x) dr (4.150) e quindi per l'integrale definito: f(x) -d'(2) dr = [/(x) - g(x): - S(x) - g(2) de (4.151) Le (4.150) e (4.151) sono note come " regole di integrazione per parti ". Esempio 1. Calcoliamo l'integrale indefinito: I COS x dx Posto f(x) = x e g'(x) = cos r, si ha g(x) = sin x e f'(x) = 1; quindi per la (4.150): %3D Ja cos x dx = x sin r- 1· sin x da = = x sin x + cos x+k Esempio 2. Calcoliamo l'integrale: x edx 0/ Posto f(x) = x e g'(x) = e" si ha f'(x) = 1 e g(x) = e"; pertanto per la (4.151) si ha: x e"dx = e" dx = e - [e*]6 = 1