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Funzioni reali di una variabile reale. 4 Integrali 211 210 4.8 4.8.6 Regole di integrazione Esempio 3. Per calcolare l'integrale: Integrazione per parti cos xdx = cos a cos xdx Supponiamo che f(x) e g(x) siano derivabili in (a, b). Ricordando la ronal derivazione del prodotto di due funzioni si ha: i nuò porre f(x) = cos a e g (x) = cos x da cui f'(x) = - sin x e g(x) = sin x; D[f(x)·g(x)] = f' (x) · g(x) + f(x) · g'(x) (4.148) pertanto: S cos? a da = sin x cos x + [ sin? xdx = Se allora supponiamo che esistano le primitive di f"(x)· g(x) e di f(x)· o'(2). = sin x cos a + [(1- cos? x)dx = dalla (4.148) si ha: = sin x cos x+x - cos xdx f(a) g(x) = Portando l'integrale del secondo membro al primo membro si ha: (4.149) cos? rdx = sin x cos x + x La (4.149) può essere utilizzata per trasformare uno degli integrali al secondo membro, ad esempio il secondo, nell'altro integrale, nel caso che quest'ultimo risulti più semplice da calcolare, cioè: da cui infine: cos? sin x cos a + =x + k | f(2) g'(=) da = f(=) g(=) - / f'(=) • g(=) dz (4.150) e quindi per l'integrale definito: Integrazione per sostituzione f(2) - g'(=) de = [f(x) g(2)% - / f'(x) · g(2) dz Discende dalla regola di derivazione delle funzioni composte. Sia f(x) continua in (a, b) ed F(x) una sua primitiva in tale intervallo, per cui: (4.151) [ fa) Le (4.150) e (4.151) sono note come " regole di integrazione per parti ". dx = F(x)+ k (4.152) Esempio 1. Calcoliamo l'integrale indefinito: cioè: x. coS x dr F'(x) = f(x) (4.153) Posto f(x) = xeg'(x) = cos x, si ha g(x) (4.150): Se si considera r come funzione di una variabile t, cioè x = g(t), ci possiamo chiedere di quale funzione di t sia una primitiva la funzione Fg(t)]. Per la regola di derivazione delle funzioni composte si ha DF g(t)] Flg(t)] · g'(t) e quindi per la (4.153) DF[g(t)] = f[g(t)] · g'(t). Pertanto la funzione F[g(t)] é una primitiva della funzione f[g(t)]g'(t), cioè: = sin x e f'(x) = 1; quindi per la Jx. cos x dr = x sin x - (1. sin x dx = = x· sin x + cos x +k Esempio 2. Calcoliamo l'integrale: (4.154) x e dx | flat)lg'(t)dt = F{g(e)] + k Posto f(r) = x eg'(x) = e si ha f'(x) = 1 e g(x) = e"; pertanto per la (4.151) si ha: Poichè il differenziale della funzione x = g(t) é dato da da = dg(t) = g'(t) · dt possiamo riscrivere la (4.154) nella forma: (4.155) e dx = e - [e"% = 1 en